Leven van cijfers
John Allen Paulos werd bekend met zijn boekje Ongecijferdheid. Zijn negende boek, A numerate life, a mathematician explores the vagaries of life, his own and probably yours, is een soort autobiografie.
[Recensie] Naar zijn eigen woorden is het een wat rommelig boek. Veel anekdotes uit zijn eigen leven zullen de Paulos-fans hierin terugvinden, en voor een ordelijk overzichtje kan men beter even op Wikipedia kijken. Het boek bevat veel overpeinzingen over de vraag hoe zinvol een (auto-)biografie eigenlijk is.
John Allen Paulos werd geboren op Onafhankelijkheidsdag 1945 in Denver in de Amerikaanse staat Colorado. Hij was de oudste van drie zoons en een dochter. Zijn grootouders waren Griekse immigranten en ze waren heel trots op hem. Later verhuisde de familie naar een ‘etnische’ buurt in Chicago en daarna naar Milwaukee. Als kind was John al gefascineerd door getallen. Hij was trouwens net als zijn vader en veel andere Amerikanen ook dol op honkbal en spaarde honkbalplaatjes die bij de kauwgum zaten. Er waren 400 verschillende plaatjes, die John allemaal bij elkaar wist te krijgen. Dat is dan aanleiding voor een uiteenzetting over hoeveel pakjes kauwgum je nodig hebt om de verzameling compleet te krijgen. Het antwoord is
400 × (1/400 + 1/399 + … + 1/1).
Het deel tussen haakjes is ongeveer ln 400 = 6, dus je moet verwachten rond de 2400 pakjes nodig te hebben. Paulos herinnert zich dat hij erg veel kauwgum moest aanschaffen om de laatste paar kaartjes te pakken te krijgen. Later ontdekte hij dat zijn moeder ze allemaal had weggegooid omdat ze dacht dat hij inmiddels te oud was om er nog belangstelling voor te hebben.
Honkbal gaf ook op een andere manier richting aan Johns leven. Een honkbalwedstrijd telt negen innings waarin elke partij een keer in het veld staat en een keer aan slag is. Er wordt telkens gewisseld als er drie spelers ‘uit’ zijn, dus een speelhelft van een inning kan door de ‘uits’ nog verder in drieën worden verdeeld. In de VS is men dol op honkbalstatistieken, en zo houdt men ook bij hoeveel ‘runs’ (punten) een werper weggeeft. Een goede werper heeft een laag ‘earned run average’, zeg 4 of 2 of nog minder. De kleine John (tien jaar) had een reservewerper van de Milwaukee Braves ontdekt die achter elkaar vijf punten om de oren had gekregen. Kennelijk werd hij daarna meteen zelf weer gewisseld, want hij speelde in die wedstrijd maar een derde van een inning, dus 1/27 wedstrijd, en kwam er het hele seizoen niet meer aan te pas als werper. Zijn ‘earned run average’ was dus 5 gedeeld door 1/27, is 135. John vond dat zo astronomisch hoog dat hij het op school vertelde. Hij moest het voor het bord komen uitleggen. Toen hij klaar was, hoonde de meester dat hij er niets van begrepen had en dat het helemaal fout was en dat hij zich vlug moest gaan schamen. Maar later, aan het eind van het seizoen, stond diezelfde 135 ook in de krant, en toen kon de kleine John de krant laten zien aan de meester, die hem alleen maar vuil aankeek en zei dat hij moest gaan zitten. Maar John had van toen af het gevoel dat wiskunde en logica onoverwinnelijk zijn. Wiskunde als almachtige beschermer. Hij bekent dat als hij eraan terugdenkt, hij nog steeds dezelfde emotie voelt als toen.
Martin Gardner
In zijn middelbareschooltijd las hij veel en was een fan van de boeken met wiskundige puzzels van Martin Gardner. Op de universiteit twijfelde hij tussen klassieke talen, Engels, filosofie, natuurkunde en wiskunde. Uiteindelijk werd het dat laatste. Mogelijk droeg het plezier aan het oplossen van een kanspuzzeltje bij tot de beslissing. Stel dat je willekeurig getallen pakt tussen de 0 en 1000. Het hoeven geen gehele getallen te zijn. Na hoeveel keer heb je dan samen meer dan 1000? Omdat het van het toeval afhangt, is de kans al 50 % bij de tweede keer, maar in uitzonderlijke gevallen duurt het een stuk langer. De vraag is natuurlijk na gemiddeld hoeveel keer. Het antwoord is
1 + 1 + 1/2 +1/6 + 1/24 + 1/120 + …
waarin je elke term na de eerste uit de vorige krijgt door te delen door (achtereenvolgens) 1, 2, 3, … Ik kan me goed voorstellen hoe blij je bent als je deze opgave zelf bedacht hebt en daarna netjes opgelost hebt. Kenners zullen de uitkomst herkennen als een van de formules voor e = 2,71828…
Die e is heel belangrijk in de wiskunde en Paulos geeft als voorbeeld het probleem van een groot aantal (n) balletjes die je willekeurig over een even groot aantal hokjes verdeelt. Welke fractie hokjes blijft er dan gemiddeld leeg? Het antwoord is exact (1 − 1/n)n, dat is ongeveer 1/e. Net zo’n puzzeltje is de Sinterklaasloterij: een groep personen bepaalt door loting wie voor wie een surprise moet maken. De kans dat ten minste één persoon de eigen naam trekt, is alweer ongeveer 1/e.
Procenten Paulos ging voor zijn ‘master’s degree’ naar Seattle. Hij behaalde die een jaar later, in 1968, en hoewel het heel gewoon is — in de wiskunde — om dan meteen door te gaan voor het Ph.D. deed hij dat niet. Om de dienstplicht te ontlopen ging hij bij het Peace Corps en gaf zo wiskundeles aan de middelbare school in Kakamega in Kenia. Na terugkeer zette hij zijn studie voort in Wisconsin. Daar ontmoette hij zijn vrouw. Het verhaal van hun ontmoeting leidt hij in met weer een ander wiskundig puzzeltje. Een meisje verwacht, de markt overziend, dat ze een bepaald aantal (n) potentiële huwelijkspartners zal ontmoeten. Ze ontmoet ze een voor een, en moet elke keer meteen beslissen of ze een aanzoek accepteert of afwijst. Er is een optimale strategie om de beste aan de haak te slaan: wijs de eerste n/e kandidaten af, en neem daarna de eerste die beter is dan alle vorige. Als ze meent niet meer dan twaalf vriendjes te kunnen krijgen, moet ze de eerste vier dumpen (12/e = 4,4) en daarna de eerste nemen die beter is dan elk van de eerste vier. De kans dat ze de beste krijgt is dan geen 100 %, maar wel zo groot mogelijk.
Of het in de praktijk ook zo gaat, is zeer de vraag, maar als sommetje (het is ook bekend als het ‘secretaresseprobleem’) is het intrigerend. In elk geval ontmoette John zijn echtgenote op een heel andere manier. Ze waren beiden bij een demonstratie tegen de Vietnamoorlog in de buurt van de universiteit. Toen er met traangas geschoten werd, troffen ze elkaar bij een waterkraan om hun ogen uit te wassen. Ze raakten aan de praat. Sheila was net terug uit Israël, waar ze in een kibboets had gewerkt, en hij net terug uit Kenia, dus ze hadden heel wat te bespreken. Dat was dus eigenlijk liefde op het eerste gezicht; hoeveel vriendinnetjes hij eerder had gehad, daar zegt hij niets over.
Na Paulos’ promotie (in de mathematische logica) kreeg hij een betrekking aan de Temple University in Philadelphia. Hij zou misschien een onbekende onderzoeker en docent op het gebied van logica en kansrekening zijn gebleven als hij niet om bij te verdienen een cursus rekenen voor verpleegkundigen had gegeven. Zijn pupillen waren vast wel gemotiveerd om voor zieke mensen te zorgen, maar hun hoofd stond niet naar eenvoudig rekenwerk. Velen snapten maar niet wat een percent was. Ze dachten dat je achter een getal als 0,02 altijd ‘percent’ moest schrijven omdat je twee honderdsten bedoelt. Zoiets. Eenheden omzetten en rekenen aan verhoudingen was eigenlijk boven hun macht. Toen hij bij de onderwijsleiding klaagde dat verpleegkundigen die niet kunnen rekenen toch gevaarlijk zijn, werd hij prompt ontslagen.
Goed en fout
Hij schreef zijn ervaringen in 1986 op voor een artikel in Newsweek. Het trok de aandacht van een literair agent, Raphael Sagalyn, die hem aanmoedigde er een boek van te maken. Dat werd Innumeracy (vertaald als Ongecijferdheid). De verschijning van het boek viel ongeveer samen met een zorgelijk rapport over hoe zwak de Amerikaanse jeugd is met rekenen en wiskunde. Dat droeg er waarschijnlijk toe bij dat het enkele maanden op de bestsellerlijst stond. Het is ook een leuk boek om te lezen, althans voor sommigen. Het is een vuurwerk van anekdotes, puzzeltjes, flauwe grapjes en spelen met heel grote en heel kleine getallen, kritiek op pseudowetenschap en psychologische vertekeningen van kansschattingen.
Paulos legt er ook in uit wat de problemen zijn met foute uitkomsten van tests. Het standaardvoorbeeld is een ziekte. De een of andere test geeft aan of iemand die ziekte onder de leden heeft. Bij een positieve uitslag (‘u bent waarschijnlijk ziek’) gaat het om twee percentages. Laten we veronderstellen dat als iemand echt de ziekte heeft en dat de kans dat de test dit correct aangeeft 90,5 % is. In 9,5 % van de keren is de test dus ten onrechte negatief. De correctpositiefkans en de foutnegatiefkans zijn dus respectievelijk 90,5 % en 9,5 %.
Wat levert de test op bij een gezond persoon? Laten we zeggen dat de test dan in 95,5 % van de gevallen negatief uitvalt. Dan is dus de correctnegatiefkans 95,5 % en de foutpositiefkans 4,5 %. Het werkelijk belangrijke getal is echter de verhouding tussen die twee positiefkansen, in dit geval 90,5 gedeeld door 4,5. Die verhouding, de ‘likelihoodratio’, is hier dus 20.
Voorafgaande aan de test is er een bepaalde kans dat iemand de ziekte heeft. Laten we even aannemen dat het om een bevolkingsonderzoek gaat, en dat een willekeurige persoon een kans van 1 tegen 100 heeft om de ziekte onder de leden te hebben. Als de test positief uitvalt, kunnen we met dat gegeven in de hand zeggen dat zijn of haar kans, of beter ‘odds’, gestegen is van 1 tegen 100 naar 20 tegen 100 (dat is 17 % kans). Het is dus helemaal niet zeker dat de betrokkene de ziekte heeft. In feite zijn er voor elke 20 personen die positief getest zijn en de ziekte hebben, 100 anderen wie de stuipen op het lijf zijn gejaagd, en die voor niks vervelend aanvullend onderzoek moeten ondergaan. Als de vooraf-‘odds’ 1:1000 zijn, is de situatie nog tien keer zo erg.
Als op basis van bijvoorbeeld bepaalde symptomen de vooraf-‘odds’ niet 1:100 zijn maar 1:2, dan worden de achteraf-‘odds’ 20:2 ten gevolge van een positieve testuitslag. Dan is er met tamelijk grote zekerheid iets mis. Als de uitslag negatief is, hebben we een analoge verhouding correctnegatief/foutnegatief. Die is in dit geval 95,5/9,5 dus ongeveer 10. Dan verandert een negatieve uitslag de ‘odds’ van 1:100 in 1:1000 — van een kleine kans naar een nog kleinere kans. Paulos werkt zijn voorbeelden niet met deze ‘likelihood ratio’ uit, waardoor het rekenwerk volgens mij onnodig onoverzichtelijk wordt.
Nationale Rekentoets
Hoewel Paulos aankondigde de oorzaken van en de remedies tegen ongecijferdheid bloot te leggen, deed hij dat niet echt. C. P. Snow klaagde in 1959 al dat het de bon ton was om niets te weten van natuurwetenschap, en dat hielp ook niet erg. Misschien helpt enthousiasme uitstralen iets. Is het een idee dat politici (Kamerleden, ministers) jaarlijks een Nationale Rekentoets op televisie komen doen?
Na Innumeracy werd Paulos beroemd, hij werd gevraagd voor columns, schreef meerdere artikelen en boeken (dit is zijn negende, zijn voorlaatste boek uit 2007 maakt gehakt van ruim twintig typen godsbewijzen) en gaf ook cursussen gecijferdheid voor journalisten. Misschien maakte een van die columns, zo vertelde hij later graag, dat indertijd Bush gekozen werd in plaats van Gore: Paulos had beweerd dat de uitslag in Florida zo exact 50/50 was dat hertelling vanwege de ruis zinloos was, en dat werd door een rechter geciteerd. Wat dan weer aanleiding geeft tot verdere mijmeringen over het vlindereffect.
—
Eerder verschenen in Skepter
