Het toeval is een rode draad
[Recensie] Een ‘theorie van alles’ is er nog niet, maar nogal wat wetenschappers proberen voor het grote publiek iets zichtbaar te maken van het magnifieke weefsel van kennis over onze wereld dat we al bezitten. Zulke boeken bespreken kosmologie, relativiteitstheorie, sterrenkunde, atomen en moleculen, kwantummechanica, de ontwikkeling van het leven, de werking van de hersenen en religie. Elke auteur probeert met een eigen insteek een of liefst meer van deze onderwerpen uit te diepen. Ik heb diverse van dit soort boeken vertaald, maar Naar alle onwaarschijnlijkheid: Toeval in de wetenschap en filosofie van de mathematisch fysicus Klaas Landsman is een product van eigen bodem. Het is een buitengewoon inspirerend boek. Rode draad is het toeval, iets preciezer: ogenschijnlijk onverbonden gebeurtenissen die zo onwaarschijnlijk lijken dat ze misschien toch geen toeval zijn, maar het resultaat van de een of andere verborgen wetmatigheid of opzet, wonderlijke samenlopen van omstandigheden oftewel coïncidenties.
Coïncidentie
Landsman begint met het begrip coïncidentie, dat een sterk subjectief aspect heeft. Dat een loterij een winnaar heeft mag voor de directeur van de organisatie weinig verrassend zijn, maar voor de winnaar zelf voelt het heel anders. Elke gebeurtenis in ons dagelijks leven, te beginnen met onze geboorte, is het resultaat van ondenkbaar veel oorzaken — die zelf ook weer oorzaken hebben — en tegelijk brengt elke gebeurtenis een zich snel vertakkende boom van gevolgen teweeg. Vrijwel al die onmetelijk onwaarschijnlijke gebeurtenissen schijnen ons doodnormaal toe. Heel soms pikt onze patroonhongerige geest er eentje uit, en komt dan in de verleiding daar iets of nog liever iemand achter te zoeken. En soms zit er ook iets achter.
Achtereenvolgens komen bij Landsman kosmologie, warmteleer, kwantumtheorie en evolutie aan de beurt. Wonderlijke samenlopen van omstandigheden in de kosmologie zijn bijvoorbeeld dat de diverse constanten in de theorie van elementaire deeltjes zo zijn dat zowel sterren als atomen konden ontstaan, maar er is meer. Zo moeten diverse constanten onwaarschijnlijk kleine of grote waarden hebben.
Het probleem is dat al deze fijnafstemming niet vergeleken kan worden met een loterij, want we hebben geen flauw idee wat het eventuele kansmechanisme is. We verkeren in dezelfde omstandigheden als Kepler, Arbuthnot en Bernoulli. De eerste formuleerde als wet in 1619 dat kwadraten van omloopstijden en derdemachten van baandiameters van planeten (uitgedrukt in aarde-eenheden) voor alle planeten nagenoeg paarsgewijs gelijk waren; John Arbuthnot merkte in 1710 op dat er in 82 achtereenvolgende jaren meer jongens dan meisjes in Londen waren geboren, en Daniel Bernoulli achtte het in 1734 toch wel heel bijzonder dat alle bekende planeetbanen in vrijwel hetzelfde vlak lagen.
In al die gevallen werd het oordeel ‘dat kan toch geen toeval zijn, daar moet iets achter zitten’ uitgesproken zonder enig idee hoe het toeval (als het dat was) dan gewerkt zou hebben. Zo is het ook met die fijnafstemming: gelovigen zoeken er een hogere macht achter (daar moet wel een god achter zitten) en wetenschappers zien een puzzel.
Bij de evolutie komt de genetica en de rol van DNA en RNA uitvoerig aan bod, en de discussie concentreert zich op het probleem van het ontstaan van het leven.
Religie en vrije wil
Twee korte hoofdstukken aan het eind van het boek gaan over de vrije wil en (christelijke) religie. In het begin van het boek is al duidelijk dat de auteur eigenlijk in dialoog is met het katholicisme van zijn jeugd — een deel van het boek gaat dan ook over het ontstaan van het universum en het ontstaan van het leven, allebei zaken waar creationisten van allerlei slag zich aan vastklampen. Voor Landsman lijkt religie voornamelijk de boodschap te brengen dat het bestaan een doel heeft dat van buitenaf is opgelegd. Hij kiest voor on-zin, die hij in de epiloog, op pagina 228, definieert als de ontkenning van een van buiten komende ‘zin’ van het leven.
Het christendom past in Landsmans verhaal omdat het ontstaan van deze succesvolle religie eveneens van toevalligheden aan elkaar hangt: een obscure eindtijdprediker, ten minste één energieke volgeling (Paulus) die de boodschap optuigde met vele toenmaals populaire religieuze ideeën en een politieke opportunist (Constantijn) die de club politieke macht gaf. Dit zijn overigens geen noodzakelijke ingrediënten, want met de eveneens succesvolle islam ging het heel anders.
Naar alle onwaarschijnlijkheid is interessant maar bij wijlen lastig te volgen. Kwantummechanica, bijvoorbeeld, is moeilijk omdat onze intuïtie het laat afweten. Zo volgt één deeltje soms tegelijk twee paden. Als je in elk pad detectors plaatst, lijkt het alsof ofwel het ene ofwel het andere pad gevolgd wordt. Maar als je de detectors zet op plaatsen waar mogelijke paden bij elkaar kunnen komen, blijkt zo’n deeltje beide paden gevolgd te hebben. Deeltjes kunnen in twee verschillende toestanden tegelijk zijn, en pas bij detectie een van die twee kiezen. Het is allemaal nog een stuk vreemder dan de theologie van de Drie-eenheid, maar de rekenschema’s van de kwantummechanica vertellen nauwkeurig wat we kunnen verwachten bij het doen van waarnemingen. Ik kan Landsmans uitleg echter niet altijd volgen.
Schrödingers kat
Neem de befaamde kat van Schrödinger. De bespreking van Landsman is meer dan half zo lang als het hele hoofdstuk over religie. Die kat zou, volgens een gedachte-experiment dat de kwantumfysicus Erwin Schrödinger in 1935 voorstelde, tegelijk in twee toestanden, namelijk dood en levend, kunnen zijn. Althans zolang de kat niet waargenomen wordt (de mogelijkheid van net de laatste adem uitblazen doet niet mee).
Die kat spreekt erg tot de verbeelding, en er zijn veel verschillende verklaringen voor bedacht. Maar er is wat voor te zeggen dat het eigenlijk een non-probleem is. Ik denk dat ik kort na de geboorte van Landsman hoorde hoe het zat met die kat, en wel in het college van Nico van Kampen. De clou is, dat de kat helemaal geen deeltje zoals een foton of een elektron is, maar dat die — net als elk meetapparaat — uit heel veel deeltjes bestaat. Voor een klein deeltje dat maar twee toestanden, zeg A en B, kan hebben, zou zijn toestand kunnen worden beschreven als a + b, waar a het aandeel van A voorstelt, en b het aandeel van B. De totale waarschijnlijkheid dat het deeltje er is, is (a + b)², dus a² + 2ab + b². Je zou de term 2ab kunnen opvatten als de bijdrage tot het totaal ten gevolge van het feit dat het om een combinatie van A en B gaat. Dit is een uitspraak over de toestand zolang er nog niet is waargenomen. Bij waarneming zie je namelijk óf A óf B. Bij de kat zijn er echter onvoorstelbaar veel toestanden ‘levend’ en ook onvoorstelbaar veel toestanden ‘dood’. Een kat is nu eenmaal een macroscopisch object. Alle kwadraattermen zijn positief, maar de mengtermen zijn positief en negatief, en het zijn er zoveel dat ze uitmiddelen tot praktisch nul. Ook in de kwantummechanische beschrijving van de kat voorafgaande aan de waarneming is de kat gewoon levend of dood, en de bijdrage van de superpositietermen is dichter bij nul dan elke denkbare fysische grootheid. Althans, zo herinner ik me de uitleg van Van Kampen.
Landsman zegt wel dat de kat, of algemener een meetinstrument, een macroscopisch object is, maar verwijst voor de details naar zijn — voor de absolute experts geschreven — Foundations of quantum theory van 900 pagina’s. Dat schiet niet op.
Verstrengeling
Ook bij de uitleg van de ongelijkheden van Bell raakte ik de draad kwijt. Dat betreft verstrengeling. Landsman noemt die ongelijkheden wel, maar nergens wordt duidelijk wat er dan ongelijk is. Op pagina 151 spreekt hij zelfs over ‘bovenstaande ongelijkheid’ maar er staat helemaal geen ongelijkheid boven! Vergun mij het uit te leggen.
Verstrengelde deeltjes zijn en blijven gekoppeld in de zin dat ze bij dezelfde soort meting altijd exact tegenovergestelde resultaten opleveren. Laten we even aannemen dat het ene deeltje naar het noorden vliegt, het andere naar het zuiden, en dat het gaat om deeltjes die om een as tollen, met andere woorden die een ‘spin’ hebben. Meet je bij beide de spin in verticale richting, en er komt bij het ene deeltje op uit, dan levert de meting aan het andere deeltje neer. Had je daarentegen de meting zo ingericht dat je de spin horizontaal meet, en de een levert oost, dan zul je zien dat de andere geheid west levert. Als de deeltjes fotonen zijn, geldt iets dergelijks voor de polarisatierichting. Nu zou je kunnen denken dat de deeltjes de een of andere eigenschap (een verborgen variabele) met zich meedragen die ze vertelt wat ze moeten doen bij aankomst in een willekeurig meetapparaat. Maar zo is het niet. Als dat zo zou zijn, zouden ze aan de zogeheten ongelijkheden van Bell moeten voldoen. Dat zal ik voor een eenvoudig geval uitleggen.
We gaan uit van drie types metingen. De antwoorden op die metingen noteren we als j en n, voor ‘ja’ en ‘nee’. De j staat dan bijvoorbeeld voor ‘het deeltje van een verstrengeld paar dat in noordelijke richting wegvloog, heeft richting op als het een verticaal meetapparaat ontmoet’ of, wat op hetzelfde neerkomt, ‘het deeltje dat in zuidelijke richting ging, heeft richting neer in een verticaal meetapparaat’.
Stel dat elk deeltje bij ontstaan al weet wat het moet doen bij elk van de drie metingen. Dan zijn er acht soorten verstrengelde paren: jjj, jjn, jnj enzovoorts. Daarin betekent jnj dus: dit paar zou antwoord j leveren bij de eerste meting, n bij de tweede meting en j bij de derde meting. We kunnen per paar maar twee metingen doen, namelijk één meting aan de ene helft, en één meting aan de andere helft van het paar. Laten we met N het aantal paren van een bepaald type aangeven. We kunnen dus N(jjx) bepalen, waarbij de x staat voor ‘het is onbekend wat daar uitgekomen zou zijn’.
Het is duidelijk dat N(jjx) = N(jjj) + N(jjn). Andere combinaties met jj zijn er immers niet. De twee termen rechts kunnen we niet bepalen, maar N(jjj) kan nooit groter zijn dan N(jxj), en N(jjn) kan nooit groter zijn dan N(xjn): beide x’en kunnen immers zowel j als n zijn. Met andere woorden,
N(jjx) ≤ N(jxj) + N(xjn).
Uit de standaard kwantumtheorie kunnen we elk der termen berekenen, en ook experimenteel bepalen. Dat is de ongelijkheid van Bell. Het is, zei Bell, van tweeën een:
- elk deeltje weet van tevoren wat voor antwoord ze op een meting zullen geven; er zijn dus verborgen variabelen. Dan moet aan deze ongelijkheid voldaan zijn, of
- de kwantummechanica zegt dat bij handig gekozen metingen deze ongelijkheid niet klopt, ‘gevioleerd’ in het jargon van de Nederlandse fysici.
Laat ik hier ook naar een boek verwijzen, maar dan naar een dat juist voor absolute leken geschreven is: het alleraardigste Teleportatie en andere mysteries in de kwantummechanica van Anton Zeilinger. Dat legt uitvoerig en geduldig uit hoe de ongelijkheid van Bell kan uitkomen op
75 % ≤ 25 % + 25 %
wat inderdaad niet klopt. Ook het Wikipedia-artikel over de stelling van Bell legt het prima uit.
Bell bedacht zijn ongelijkheden in 1964, met het expliciete doel om ‘definitief af te rekenen met die onzin van verborgen variabelen’, zoals Martinus Veldman het noemt in zijn Feiten en mysteries in de deeltjesfysica. Pas ver na 1964 werd experimenteel vastgesteld dat de ongelijkheid van Bell inderdaad geschonden wordt, en dat de kwantummechanica het gewoon bij het rechte eind had — iets waar eigenlijk geen kwantumfysicus aan twijfelde.
Nadenken
Zo is er, eerlijk gezegd, wel meer in het boek waar de uitleg wel wat duidelijker had gekund. Landsman vertelt uitvoerig wat entropie is, maar iedereen die op school geleerd heeft dat een verandering in entropie gelijk is aan hoeveelheid onttrokken of toegevoerde warmte gedeeld door temperatuur, zal na Landsmans verhaal over vlooien die tussen honden heen en weer springen niet snappen wat deze vlooienmetafoor van doen heeft met de entropie uit de eenvoudige warmteleer.
Ik ben hier dieper ingegaan op de kat van Schrödinger en de ongelijkheid van Bell omdat ik het boek van Landsman weliswaar hoogst interessant vind, maar vrees dat de meeste lezers, ondanks alle goede voornemens, bij die onderwerpen de rode draad kwijtraken. Dat zou toch jammer zijn — hopelijk worden zij door het boek gestimuleerd om van de diverse onderwerpen meer te weten te komen. Landsman zet in ieder geval iedereen aan tot nadenken.
—
Eerder verschenen in Skepter
