Een kennismaking met de wereld van toeval en kansen
Toeval en logica
[Recensie] Kans en waarschijnlijkheid zijn lastige begrippen. Wiskundige en classicus Steven Tijms probeert ze zo simpel mogelijk uit te leggen. Hij kiest voor een historische aanpak, gevolgd door toepassingen zoals de gokkersdwaling (na veel rood bij roulette wordt de kans op zwart groter) en de hot hand (na enkele treffers bij bijvoorbeeld basketball wordt de succeskans groter), het verjaardagsprobleem en schijnbaar onwaarschijnlijke gebeurtenissen.
Tijms’ grote held is Blaise Pascal (1623–1662). Vóór Pascal betekenden de woorden kans en ‘probabilité’ niet iets getalsmatigs, maar onvoorspelbaarheid respectievelijk aannemelijkheid. Daar kwam verandering in toen een goede kennis van Pascal, de filosoof Antoine Arnould, in 1662 in La logique ou l’art de penser, graden van ‘probabilité’ onderscheidde die het mogelijk maakten om de verwachte winst bij gokspelletjes te berekenen. Tijms denkt dat Arnould gewoon navertelde wat hij van Pascal had opgestoken, die toen al veel wiskunde van kansspelen had ontwikkeld in briefwisselingen met Fermat en Huygens. Pas in 1814 formuleerde Pierre-Simon de Laplace het duidelijk: kans is de verhouding tussen het aantal gunstige gevallen en het totaal aantal gevallen — waarbij hij er pas in de volgende alinea aan toevoegt dat men wel moet veronderstellen dat alle gevallen ‘également possibles’ zijn.
Het kansbegrip geeft makkelijk aanleiding aanleiding tot verwarring. De grote Leibniz schreef in een onbewaakt ogenblik (in 1714) dat het even makkelijk is 11 als 12 te gooien met twee dobbelstenen. Kennelijk dobbelde Leibniz nooit, want de kans op 11 is tweemaal zo groot als op 12. En korter geleden kostte het de geniale wiskundige Paul Erdős enorm veel moeite om de correcte oplossing van het befaamde driedeurenprobleem in te zien.
Mazelen-odds
Tijms merkt op dat men vroeger rekende met ‘odds’, de verhouding tussen de aantallen gunstige en ongunstige gevallen, dus als de kans op een gebeurtenis 0,5 is (of 50 procent, of in goed Nederlands fiftyfifty), dan zijn de odds 1 : 1. Een kans van 1 procent is odds van 1 : 99. Voor de theorie zijn kansen geschikter, maar de odds zijn praktischer.
Medische tests vormen een voorbeeld. Stel dat een test bij 95 procent van de mensen die een bepaalde ziekte onder de leden hebben die ziekte ook vaststelt. Wat weet een patiënt dan als die te horen krijgt dat de test positief is? Het antwoord is: niets. Er ontbreken twee gegevens. Allereerst moet je naast de kans op goed-positief ook de kans op fout-positief kennen. Stel dat een niet-zieke 1 procent kans heeft op een ‘positieve’ uitslag. Het cruciale getal is het quotiënt van die twee cijfers, dus 95 / 1 = 95 — in vaktaal de ‘likelihood ratio’.
Ten tweede moet je weten hoe groot de kans is dat degeen die getest wordt, de ziekte heeft. Bij een willekeurige symptoomloze deelnemer aan een bevolkingsonderzoek is die kans klein. Heeft betrokkene echter rode vlekjes en hoge koorts dan zijn de mazelen mazelenodds aanzienlijk. Zijn bijvoorbeeld bij screening de odds 1 : 1000, dan gaan ze met onze ‘likelihood ratio’ omhoog tot 95 : 1000, dus een kans van 1000 / 1095 (91 procent) op loos alarm. Maar rekent men in het tweede geval de vooraf-odds op 10 tegen 1 — het is misschien een andere vlekjesziekte — dan worden de achteraf-odds door de uitslag van de laboratoriumtest 950 : 1, dus nog maar 0,1 procent kans dat het toch geen mazelen is.
Met kansen in plaats van odds heb je een afschuwelijk gecompliceerde formule met voorwaardelijke kansen nodig. Het alternatief is dat men een fictief voorbeeld met 10.000 geteste patiënten stap voor stap doorrekent.
O.J. Simpson
Het interessantste voorbeeld in Tijms’ boek vind ik het proces tegen O.J. Simpson. De aanklager suggereerde toen, dat vrouwenmishandelaars zoals O.J. vaak hun vrouw vermoorden. De verdediging haalde dit met succes onderuit door te wijzen op de kleine aantallen in kwestie, feitelijk maar 10 per jaar per 28 000 mishandelde vrouwen. Echter, volgens de misdaadstatistieken van de Verenigde Staten wordt per 28.000 gehuwde vrouwen er gemiddeld maar 1 per jaar door een ander dan de echtgenoot vermoord. Het is dus 10 tegen 1 dat bij een mishandelde vermoorde vrouw zoals Nicole Simpson de mishandelende man de dader is. De aanklager zal dat uit ervaring geweten hebben, maar hij rekende het niet voor en verwoordde het onhandig.
Tijms vertelt natuurlijk heel wat meer interessants, maar dat moet u zelf maar nalezen.
—
Eerder verschenen in Skepter
