Maandag, 15 juli, 2019

Geschreven door: Onbekend
Artikel door: Nienhuys, Jan Willem

Toeval is altijd logisch

Een kennismaking met de wereld van toeval en kansen

Toeval en logica

[Recensie] Kans en waarschijnlijkheid zijn lastige begrippen. Wiskundige en classicus Steven Tijms probeert ze zo simpel mogelijk uit te leggen. Hij kiest voor een historische aanpak, gevolgd door toepassingen zoals de gokkersdwaling (na veel rood bij roulette wordt de kans op zwart groter) en de hot hand (na enkele treffers bij bijvoorbeeld basketball wordt de succeskans groter), het verjaardagsprobleem en schijnbaar onwaarschijnlijke gebeurtenissen.

Tijms‚Äô grote held is Blaise Pascal¬†(1623‚Äď1662). V√≥√≥r Pascal betekenden¬†de woorden kans en ‘probabilit√©’ niet¬†iets getalsmatigs, maar onvoorspelbaarheid¬†respectievelijk aannemelijkheid.¬†Daar kwam verandering in toen¬†een goede kennis van Pascal, de filosoof¬†Antoine Arnould, in 1662 in La logique¬†ou l‚Äôart de penser, graden van ‘probabilit√©’ onderscheidde die het mogelijk¬†maakten om de verwachte winst¬†bij gokspelletjes te berekenen. Tijms¬†denkt dat Arnould gewoon navertelde¬†wat hij van Pascal had opgestoken, die¬†toen al veel wiskunde van kansspelen¬†had ontwikkeld in briefwisselingen¬†met Fermat en Huygens. Pas in 1814¬†formuleerde Pierre-Simon de Laplace¬†het duidelijk: kans is de verhouding¬†tussen het aantal gunstige gevallen en¬†het totaal aantal gevallen ‚ÄĒ waarbij¬†hij er pas in de volgende alinea aan¬†toevoegt dat men wel moet veronderstellen¬†dat alle gevallen ‘√©galement¬†possibles’ zijn.

Het kansbegrip geeft makkelijk aanleiding¬†aanleiding¬†tot verwarring. De grote Leibniz¬†schreef in een onbewaakt ogenblik¬†(in 1714) dat het even makkelijk is 11¬†als 12 te gooien met twee dobbelstenen.¬†Kennelijk dobbelde Leibniz nooit,¬†want de kans op 11 is tweemaal zo¬†groot als op 12. En korter geleden¬†kostte het de geniale wiskundige Paul¬†ErdŇĎs enorm veel moeite om de correcte¬†oplossing van het befaamde¬†driedeurenprobleem in te zien.

Bazarow

Mazelen-odds 

Tijms merkt op dat men vroeger rekende¬†met ‘odds’, de verhouding tussen¬†de aantallen gunstige en ongunstige¬†gevallen, dus als de kans op een gebeurtenis¬†0,5 is (of 50 procent, of in¬†goed Nederlands fiftyfifty), dan zijn de odds 1 : 1. Een kans van 1 procent is¬†odds van 1 : 99. Voor de theorie zijn¬†kansen geschikter, maar de odds zijn¬†praktischer.

Medische tests vormen een voorbeeld.¬†Stel dat een test bij 95 procent¬†van de mensen die een bepaalde ziekte¬†onder de leden hebben die ziekte¬†ook vaststelt. Wat weet een pati√ęnt¬†dan als die te horen krijgt dat de test¬†positief is? Het antwoord is: niets. Er¬†ontbreken twee gegevens. Allereerst¬†moet je naast de kans op goed-positief¬†ook de kans op fout-positief kennen.¬†Stel dat een niet-zieke 1 procent kans¬†heeft op een ‚Äėpositieve‚Äô uitslag. Het¬†cruciale getal is het quoti√ęnt van die¬†twee cijfers, dus 95 / 1 = 95 ‚ÄĒ in vaktaal¬†de ‘likelihood ratio’.

Ten tweede moet je weten hoe groot¬†de kans is dat degeen die getest wordt,¬†de ziekte heeft. Bij een¬† willekeurige¬†symptoomloze deelnemer aan een bevolkingsonderzoek¬†is die kans klein.¬†Heeft betrokkene echter rode vlekjes¬†en hoge koorts dan zijn de mazelen¬†mazelenodds¬†aanzienlijk. Zijn bijvoorbeeld bij¬†screening de odds 1 : 1000, dan gaan¬†ze met onze ‘likelihood ratio’ omhoog¬†tot 95 : 1000, dus een kans van 1000 /¬†1095 (91 procent) op loos alarm. Maar¬†rekent men in het tweede geval de¬†vooraf-odds op 10 tegen 1 ‚ÄĒ het is¬†misschien een andere vlekjesziekte ‚ÄĒ¬†dan worden de achteraf-odds door de¬†uitslag van de laboratoriumtest 950 : 1,¬†dus nog maar 0,1 procent kans dat het¬†toch geen mazelen is.

Met kansen in plaats van odds heb je¬†een afschuwelijk gecompliceerde formule¬†met voorwaardelijke kansen nodig.¬†Het alternatief is dat men een fictief¬†voorbeeld met 10.000 geteste pati√ęnten¬†stap voor stap doorrekent.

O.J. Simpson

Het interessantste voorbeeld in Tijms’ boek vind ik het proces tegen O.J. Simpson. De aanklager suggereerde toen, dat vrouwenmishandelaars zoals O.J. vaak hun vrouw vermoorden. De verdediging haalde dit met succes onderuit door te wijzen op de kleine aantallen in kwestie, feitelijk maar 10 per jaar per 28 000 mishandelde vrouwen. Echter, volgens de misdaadstatistieken van de Verenigde Staten wordt per 28.000 gehuwde vrouwen er gemiddeld maar 1 per jaar door een ander dan de echtgenoot vermoord. Het is dus 10 tegen 1 dat bij een mishandelde vermoorde vrouw zoals Nicole Simpson de mishandelende man de dader is. De aanklager zal dat uit ervaring geweten hebben, maar hij rekende het niet voor en verwoordde het onhandig.

Tijms vertelt natuurlijk heel wat meer interessants, maar dat moet u zelf maar nalezen.

Eerder verschenen in Skepter